11 février 2016

Evénement de probabilité nulle

J'ai longtemps cru qu'un événement ayant une probabilité nulle était un événement impossible. Il semblerait qu'il n'en soit rien.

J'aime beaucoup l'explication trouvée sur un forum de discussion :
A priori, un événement de probabilité nulle n'a aucune raison d'être l'ensemble vide (événement impossible). Sur un univers fini, on ne s'intéresse évidemment qu'aux événements élémentaires de probabilité non nulle. Donc on s'arrange pour que seul l'événement vide ait une probabilité nulle. Sur un univers infini, même discret, ce n'est pas toujours une bonne idée, et c'est même impossible à éviter pour les probas continues.

Par exemple, le choix d'un réel entre 0 et 1, uniformément, donne une situation où chacun des réels entre 0 et 1 a la même probabilité d'arriver, mais chacun a une probabilité nulle.
J'ai trouvé ailleurs le même genre d'explication ;
L’événement impossible (il n'y en a qu'un) est par définition l'ensemble vide : c'est l'autre nom qu'on lui donne en calcul des probabilités.
L’événement certain (il n'y en a qu'un dans le contexte d'une expérience aléatoire donnée) est l'ensemble Omega, c'est un autre nom de l'univers.


Dans le langage probabiliste usuel, un événement de probabilité égale à 1 est dit presque sûr ou presque certain, et il est bien vrai qu'un tel événement n'est pas nécessairement égal à Omega; un événement de probabilité nulle est dit négligeable ou presque impossible.
(source discussion sur Wikipédia)
J'ai toujours été fasciné par l'univers mathématique, et en particulier par celui des probabilités. Sans nécessairement être très bon.

Je pose ça ici...

[edit: j'étais presque sur d'avoir déjà lu cela quelque part... J'ai retrouvé, il s'agit d'un commentaire sur le blog d'Eolas : http://www.maitre-eolas.fr/post/2010/08/13/M%C3%B8de-d-emplo%C3%A5 ]

6 commentaires:

  1. Bonjour,
    Mes vieux souvenirs de math: théorie de la mesure.
    La probabilité que survienne un évènement est la mesure du sous ensemble "evt positif" sur la mesure de l'ensemble "evt possible"
    Un point est de mesure nulle par rapport à un segment. Pour une mesure ayant un sens, on calcule la probabilité du point dans un segment [0,x] par rapport à [0, 1] (avec x<1, bien sur.
    On voit bien que si x tend vers 0, la mesure aussi.
    Donc une proba nulle correspond simplement à une ensemble de cas de mesure nulle. La possibilité/impossibilité n'a pas de sens ici, sauf cas particulier (ensembles finis)

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  2. Subtile méthode pour appeler le lecteur sur une page traitant d'un sujet un peu d'actualité ?

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  3. Petite subtilité : la probabilité de tirer 0.5 en prenant un nombre réel entre 0 et 1 n'est pas nulle, mais tend vers 0. La différence est subtile mais réel. Le calcul sur les infiniment petit est un domaine très important des maths, avec des implications énormes en physiques.
    Pour donner une définition de l'infiniment petit, on pourait dire "plus petit que n'importe quoi, mais non nulle. C'est par exemple la durée du présent, qui sépare tout juste le passé du futur.

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  4. Je conseille TRÈS fortement «probability» de Chaitin.
    Ce n'est pas (qu')un livre de math, mais tente de montrer l'usage des probabilité dans la vraie vie, et en science, de manière correcte, et surtout intuitive, s'éloignant des cours habituels.
    Ça commence par expliquer d'ailleurs qu'il fera très attention en passant aux infinis, pour éviter des paradoxes.


    @Ettesium «tend vers 0»
    Comment ça peut tendre sans que quoi que ce soit ne varie ?
    Si on veut être formel, mathématiquement, il faudrait déjà définir de quel probabilité on parle, il n'y a pas qu'une seule distribution de probabilité.
    Usuellement, sur les ensembles infinis, on parle de la probabilité que la variable ait une valeur dans un ensemble, qui doit être mesurable. Donc, pour être formel, «tirer 0.5» serait «tirer un élément de l'ensemble (singleton) {0.5}»
    Et la mesure de Lebesgue du singleton est effectivement 0.

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  5. "Petite subtilité : la probabilité de tirer 0.5 en prenant un nombre réel entre 0 et 1 n'est pas nulle, mais tend vers 0"

    Pas exactement. Elle est infiniment petite (en fait elle est égale à 1/infini). Elle ne tend pas vers 0 puisque le nombre d'événement ne change pas. Il est et reste infini. Ce qui tend vers 0 est la valeur calculée.

    Remarquez que c'est parfois compliqué à faire comprendre aux étudiants. Il se passe des trucs très bizarres des fois en probas. Déjà qu'on a trois définitions de la convergence!



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  6. mots clefs : intégrale de Lebesque, théorie de la mesure.

    (et gros mal de crane)

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_la_mesure
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Lebesgue

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